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一、 2001年高考数学试题的特点 1．难度下调，"温和平缓" 纵览全卷试题，与2000年相比，总体难度有所降低，没有使学生望而生畏的题目。绝大部分试题起点低，步距小，不偏不怪，"温和平缓"，解题思路自然。有些试题，如第（1）、（4）、（5）、（6）、（7）、（10）、（17）（Ⅰ）等题（累计34分，占总分值的23％），其答案都几乎是一望而知，极易得分。这种情况在近10年的高考中是少有的，它无疑是消除考生考场紧张、焦虑心理的强力速效"镇静剂"，同时它给高三数学教师的脸上也带来了笑意。 2．减少考点，突出重点一方面，全卷仅考查了近70个知识点，约占高中数学知识点总数（《考试说明》中理科列出141个知识点）的50％。但另一方面，由于命题者抓住了主体知识，因此试题仍覆盖了《考试说明》规定考查的高中各章内容，并能很好地突出了重点，对高中数学中的函数、不等式、数列、圆锥曲线、多面体和旋转体这五大重点版块知识，都作了较为深入的考查。如函数知识，全卷共有六道题目（第（4）、（6）、（10）、（18）、（21）、（22）题，三大三小）对它作了考查，累计53分，占总分值的35.33% 。又如全卷有五道题目（第（1）、（4）、（8）、（20）、（21）题，两大三小）考查了不等式知识，累计39分，占总分值的26％。 3．注重双基，突出能力全卷知识点的减少，并不影响对双基的全面考查。以理科为例，试题对函数和反函数的概念，函数的奇偶性、单调性和周期性，三角函数、反三角函数的概念和性质，不等式的性质、证明和求解，等差数列、等比数列的通项及前n项和，数列的极限，复数的模、辐角及其代数形式、三角形式的运算，排列、组合数的计算及二项式定理的运用，异面直线所成的角及二面角的概念，圆锥的轴截面、侧面积和棱锥的体积，直线的斜率，圆的直角坐标方程与极坐标方程，椭圆的离心率，双曲线、抛物线的定义和性质，数形结合的思想，等价转化的思想，分类讨论的思想，函数与方程的思想以及配方法、换元法、综合法、比较法、特殊化法等众多基础知识，都作了全面的考查，充分体现了注重双基这一命题导向。在考查基础知识的同时，试题突出了对能力的考查，尤其是逻辑思维能力的考查。例如第（17）题，突出了逻辑思维能力与空间想象能力的考查；第（18）、（19）、（20）题，在考查逻辑推理能力的同时，还考查了运算能力；第（21）题考查了综合运用数学知识解决实际问题的能力；第（22）题注重了对逻辑思维能力、运算能力及化归思想的考查。和大题一样，小题中也不乏考查思维能力的试题，如第（8）题，该题以三角函数为依托，考查函数值大小的比较问题。如何排除选项"ab<1"及 "ab>2"的干扰，需要一定的思维能力。事实上只需利用极限的思想，分别令α，β→，及α，β→0，即可排除这两个选项。但能否想到利用上述极限思想，反映了学生思维能力的强弱。又如第（11）题，如果我们试图通过求矩形、梯形、三角形面积的办法来处理，必将陷入繁琐的计算而不能自拔。然而，如果我们改变思维方向，注意到"同一间房屋面积是一定的"事实。那么根据面积射影公式：S斜cosα=S射影，易知不论屋顶是单向倾斜、双向倾斜还是四向倾斜，屋顶面积仅随α的变化而变化。现题目中①、②、③三种盖法的α均相等，于是即得P3=P2=P1。体现了思维的灵活性和深刻性。再如第（12）题，对于A、B以外的其余六个结点，求解时应根据图中各段网线上标注的数据，既考虑它们单位时间内能从上一个结点最多接收到几条信息，又应做好这些结点向下一个结点传递信息条数的统筹分配工作，并力求尽量避免缓传。这里，除了考查网络传递信息的一些基础知识外，着重考查了逻辑思维能力、信息处理能力、优化设计能力和分析决策能力。 4．遵循纲本，适当延伸 2001年高考数学试题在以纲为纲，以本为本方面是十分令人欣慰的。全卷试题与课本习题、复习题一致或类似或由它们改编而成的题目有12个，约占总题量的55％。现以理科试题为例，列出试题考查内容及其课本原型对照表如下：试题号考查内容教材原型 ⑴ 三角函数的符号法则代数上册P148习题十二，7（4）（原题） ⑵ 圆的标准方程解析几何P67习题五，1（4） ⑶ 等差数列的性质、前n项和代数下册P49习题十七，18 ⑸ 圆的极坐标方程解析几何P138习题十一，10 ⑹ 反余弦函数代数上册P285习题十九，6（2） ⑺ 椭圆的离心率解析几何P78习题六，4（3） ⑽ 两个单调函数差的单调性代数上册P109复习参考题一，16 ⒀ 圆锥轴截面、侧面积立体几何P80习题十，10 ⒁ 双曲线上的点与两焦点连线垂直的性质解析几何P110复习参考题二，10；P11115 ⒄（I）四棱锥的体积立体几何P117总复习参考题，8 ⒅（I）复数的模，辐角主值代数下册P198例2 ⒆ 抛物线、焦点弦、准线、三点共线解析几何P99习题八，13 表中所列试题累计79分，约占总分值的53% 。由于这些试题源于课本，因此学生似曾相识，解答得心应手。它为学生营造坦然的应试心境提供了良好的外部条件。当然有些试题在课本习题的基础上作了适当延伸。如第（10）题，代数上册P109复习参考题一第（16）题是两个奇函数的积，或两个偶函数的积，或一奇一偶的两函数积的奇偶性的判断问题，而试题（10）将问题引申为判断两个单调函数的差的单调性问题。它们都属于对具有某种性质的两个函数经过某种运算后是否具有这种性质的判断问题，在思维上具有相同的价值。 5．稳中求改，推陈出新首先，2001年高考数学试题在题型上与前几年保持一致、题量与2000年相同的情况下，避开了过死、过繁、过偏的知识的考查，减少了运算量，缩短了试卷的"长度"。以标准答案为准，全卷试题解答过程最长的约700个字符，这无疑为考生留下了更多思维的时间与空间。其次，试卷设计了如第（11）、（12）这样富有思维价值的新题，尤其是第（12）题，这是继1998年第（11）题（由注水量V与水深h的函数关系的图象判断水瓶形状）以来，在试题设计上又一新的尝试，极富时代气息。又如第（20）题，把排列、组合、二项式定理与不等式的知识综合考查，既体现了数学知识相互交汇的广泛性，又体现了加大对代数问题推理论证力度的命题思想。（20）题中还将正整数用字母i表示，使不少学生在消除疑惑（学生习惯上视字母i 为虚数单位）的同时，嗅到了新鲜的气息，这对扭转学生由于思维定势而形成的僵化思想显然是十分有益的。第三，试卷对解答题考查知识的先后顺序有意识地作了调整。尽管前几年高考试卷中涉及某科知识的试题排序也并非完全固定，但从历年高考试卷来看，解答题中立体几何大体排在第三题。而由于解析几何大多是压轴题，因此通常是最后一题或倒数第二题。然而2001年的试卷一改以往的编排习惯，解答题把立体几何排在第一题，解析几何排在第三题。这种几何试题位置前移，代数试题位置相对后移的布局调整，一方面打破了布局模式化，从而使试题排序跳出呆板的俗套而逐步鲜活起来。另一方面，后移代数试题也暗示着压轴题向代数题转移的命题趋势。二、2001年高考数学试题对新一轮高考复习的启示 1．狠抓基础，突出重点是高考复习的主旋律高考数学试题近年来连续保持稳定的一个重要方面是在考查双基和突出重点上有较好的体现，这始终是高考命题的基本趋势，一般不会改变。正如《考试说明》中指出的："对数学基础知识的考查要求全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合。重点知识是支撑学科知识体系的主要内容，考查时要保持较高的比例，并达到必要的深度，构成数学试题的主体。"这种命题思想以及在这种思想指导下设计的试题，无疑启示我们对基础知识和基本技能应始终放在复习的重要位置，对重点知识应反复锤炼，以突出它对学科的支撑作用和在试题中的主体地位。 2．培养能力，提高素质是高考复习的核心 2001年高考试题中，不少试题特别是解答题，在考查知识的同时注重了对能力的考查，它符合试题设计应"从知识立意向能力立意转化"的命题思想。因此高考数学复习中，在认真梳理基础知识的基础上，应有意识地进行一些研究性学习，努力探索知识的内在联系，编织知识网络，挖掘知识交汇点。通过开放性、应用性问题的研究，锤炼扎实娴熟的基本功，培养发现意识和探索精神，使之逐步形成以逻辑思维能力为核心的各种能力，提高综合素质。 3．研究课本，剖析典型是高考复习的基本着眼点不少学生在高三复习时基本上把课本扔在一边，很少再去光顾浏览，这是高三数学复习的一个误区。2001年高考数学试卷中，源于课本典型例、习题的试题数量及其分值都有较高的比例，这足以说明高考复习中研究课本，剖析典型例、习题的必要性和重要性。只有平时做好典型问题的收集、分析、归类、研究和小结工作，才能在必要时将它们适当进行改编、引申或重新组合，寻找和挖掘知识的交汇点，才能透过陌生问题的表象，剖析出该问题是由哪些课本知识交汇拟合而成。唯此，才能更好地吸取课本例、习题的营养价值，真正发挥课本例、习题的示范功能。 4．加强数学思想方法的挖掘与调用，是提高数学复习质量的保证面对21世纪伟大的变革和激烈的竞争，我们必须使自己成为立于不败之地的优秀人才。而新世纪优秀人才的标志之一，是能够数学地提出问题、分析问题和评价问题，这就要求我们具有扎实的数学基础知识、敏捷的思维以及开拓创新的能力。而数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，因此，在高考数学复习中，我们应当有意识地挖掘数学问题本身所蕴含的数学思想和方法，并能恰当地调用它们解决问题。若能如此，我们的思维将会得到进一步的发展，潜能将会得到有效的开发，数学素质将会得到极大的提高，创新意识、创新精神和创新能力将会得到很好的培养。 2001年高考已经结束了，然而由高考试题所引发的思考和启示都远远没有结束。认真做好2001年高考试题的分析研究，并关注新一轮高考的相关信息，必将有力地提高我们新一轮高考复习的针对性和实效性。

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*从2001年高考数学试题的特点谈新一轮高考数学复习*
● 丁益祥
一、 2001年高考数学试题的特点 1．难度下调，"温和平缓" 纵览全卷试题，与2000年相比，总体难度有所降低，没有使学生望而生畏的题目。绝大部分试题起点低，步距小，不偏不怪，"温和平缓"，解题思路自然。有些试题，如第（1）、（4）、（5）、（6）、（7）、（10）、（17）（Ⅰ）等题（累计34分，占总分值的23％），其答案都几乎是一望而知，极易得分。这种情况在近10年的高考中是少有的，它无疑是消除考生考场紧张、焦虑心理的强力速效"镇静剂"，同时它给高三数学教师的脸上也带来了笑意。 2．减少考点，突出重点一方面，全卷仅考查了近70个知识点，约占高中数学知识点总数（《考试说明》中理科列出141个知识点）的50％。但另一方面，由于命题者抓住了主体知识，因此试题仍覆盖了《考试说明》规定考查的高中各章内容，并能很好地突出了重点，对高中数学中的函数、不等式、数列、圆锥曲线、多面体和旋转体这五大重点版块知识，都作了较为深入的考查。如函数知识，全卷共有六道题目（第（4）、（6）、（10）、（18）、（21）、（22）题，三大三小）对它作了考查，累计53分，占总分值的35.33% 。又如全卷有五道题目（第（1）、（4）、（8）、（20）、（21）题，两大三小）考查了不等式知识，累计39分，占总分值的26％。 3．注重双基，突出能力全卷知识点的减少，并不影响对双基的全面考查。以理科为例，试题对函数和反函数的概念，函数的奇偶性、单调性和周期性，三角函数、反三角函数的概念和性质，不等式的性质、证明和求解，等差数列、等比数列的通项及前n项和，数列的极限，复数的模、辐角及其代数形式、三角形式的运算，排列、组合数的计算及二项式定理的运用，异面直线所成的角及二面角的概念，圆锥的轴截面、侧面积和棱锥的体积，直线的斜率，圆的直角坐标方程与极坐标方程，椭圆的离心率，双曲线、抛物线的定义和性质，数形结合的思想，等价转化的思想，分类讨论的思想，函数与方程的思想以及配方法、换元法、综合法、比较法、特殊化法等众多基础知识，都作了全面的考查，充分体现了注重双基这一命题导向。在考查基础知识的同时，试题突出了对能力的考查，尤其是逻辑思维能力的考查。例如第（17）题，突出了逻辑思维能力与空间想象能力的考查；第（18）、（19）、（20）题，在考查逻辑推理能力的同时，还考查了运算能力；第（21）题考查了综合运用数学知识解决实际问题的能力；第（22）题注重了对逻辑思维能力、运算能力及化归思想的考查。和大题一样，小题中也不乏考查思维能力的试题，如第（8）题，该题以三角函数为依托，考查函数值大小的比较问题。如何排除选项"ab<1"及 "ab>2"的干扰，需要一定的思维能力。事实上只需利用极限的思想，分别令α，β→，及α，β→0，即可排除这两个选项。但能否想到利用上述极限思想，反映了学生思维能力的强弱。又如第（11）题，如果我们试图通过求矩形、梯形、三角形面积的办法来处理，必将陷入繁琐的计算而不能自拔。然而，如果我们改变思维方向，注意到"同一间房屋面积是一定的"事实。那么根据面积射影公式：S斜cosα=S射影，易知不论屋顶是单向倾斜、双向倾斜还是四向倾斜，屋顶面积仅随α的变化而变化。现题目中①、②、③三种盖法的α均相等，于是即得P3=P2=P1。体现了思维的灵活性和深刻性。再如第（12）题，对于A、B以外的其余六个结点，求解时应根据图中各段网线上标注的数据，既考虑它们单位时间内能从上一个结点最多接收到几条信息，又应做好这些结点向下一个结点传递信息条数的统筹分配工作，并力求尽量避免缓传。这里，除了考查网络传递信息的一些基础知识外，着重考查了逻辑思维能力、信息处理能力、优化设计能力和分析决策能力。 4．遵循纲本，适当延伸 2001年高考数学试题在以纲为纲，以本为本方面是十分令人欣慰的。全卷试题与课本习题、复习题一致或类似或由它们改编而成的题目有12个，约占总题量的55％。现以理科试题为例，列出试题考查内容及其课本原型对照表如下：试题号考查内容教材原型 ⑴ 三角函数的符号法则代数上册P148习题十二，7（4）（原题） ⑵ 圆的标准方程解析几何P67习题五，1（4） ⑶ 等差数列的性质、前n项和代数下册P49习题十七，18 ⑸ 圆的极坐标方程解析几何P138习题十一，10 ⑹ 反余弦函数代数上册P285习题十九，6（2） ⑺ 椭圆的离心率解析几何P78习题六，4（3） ⑽ 两个单调函数差的单调性代数上册P109复习参考题一，16 ⒀ 圆锥轴截面、侧面积立体几何P80习题十，10 ⒁ 双曲线上的点与两焦点连线垂直的性质解析几何P110复习参考题二，10；P11115 ⒄（I）四棱锥的体积立体几何P117总复习参考题，8 ⒅（I）复数的模，辐角主值代数下册P198例2 ⒆ 抛物线、焦点弦、准线、三点共线解析几何P99习题八，13 表中所列试题累计79分，约占总分值的53% 。由于这些试题源于课本，因此学生似曾相识，解答得心应手。它为学生营造坦然的应试心境提供了良好的外部条件。当然有些试题在课本习题的基础上作了适当延伸。如第（10）题，代数上册P109复习参考题一第（16）题是两个奇函数的积，或两个偶函数的积，或一奇一偶的两函数积的奇偶性的判断问题，而试题（10）将问题引申为判断两个单调函数的差的单调性问题。它们都属于对具有某种性质的两个函数经过某种运算后是否具有这种性质的判断问题，在思维上具有相同的价值。 5．稳中求改，推陈出新首先，2001年高考数学试题在题型上与前几年保持一致、题量与2000年相同的情况下，避开了过死、过繁、过偏的知识的考查，减少了运算量，缩短了试卷的"长度"。以标准答案为准，全卷试题解答过程最长的约700个字符，这无疑为考生留下了更多思维的时间与空间。其次，试卷设计了如第（11）、（12）这样富有思维价值的新题，尤其是第（12）题，这是继1998年第（11）题（由注水量V与水深h的函数关系的图象判断水瓶形状）以来，在试题设计上又一新的尝试，极富时代气息。又如第（20）题，把排列、组合、二项式定理与不等式的知识综合考查，既体现了数学知识相互交汇的广泛性，又体现了加大对代数问题推理论证力度的命题思想。（20）题中还将正整数用字母i表示，使不少学生在消除疑惑（学生习惯上视字母i 为虚数单位）的同时，嗅到了新鲜的气息，这对扭转学生由于思维定势而形成的僵化思想显然是十分有益的。第三，试卷对解答题考查知识的先后顺序有意识地作了调整。尽管前几年高考试卷中涉及某科知识的试题排序也并非完全固定，但从历年高考试卷来看，解答题中立体几何大体排在第三题。而由于解析几何大多是压轴题，因此通常是最后一题或倒数第二题。然而2001年的试卷一改以往的编排习惯，解答题把立体几何排在第一题，解析几何排在第三题。这种几何试题位置前移，代数试题位置相对后移的布局调整，一方面打破了布局模式化，从而使试题排序跳出呆板的俗套而逐步鲜活起来。另一方面，后移代数试题也暗示着压轴题向代数题转移的命题趋势。二、2001年高考数学试题对新一轮高考复习的启示 1．狠抓基础，突出重点是高考复习的主旋律高考数学试题近年来连续保持稳定的一个重要方面是在考查双基和突出重点上有较好的体现，这始终是高考命题的基本趋势，一般不会改变。正如《考试说明》中指出的："对数学基础知识的考查要求全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合。重点知识是支撑学科知识体系的主要内容，考查时要保持较高的比例，并达到必要的深度，构成数学试题的主体。"这种命题思想以及在这种思想指导下设计的试题，无疑启示我们对基础知识和基本技能应始终放在复习的重要位置，对重点知识应反复锤炼，以突出它对学科的支撑作用和在试题中的主体地位。 2．培养能力，提高素质是高考复习的核心 2001年高考试题中，不少试题特别是解答题，在考查知识的同时注重了对能力的考查，它符合试题设计应"从知识立意向能力立意转化"的命题思想。因此高考数学复习中，在认真梳理基础知识的基础上，应有意识地进行一些研究性学习，努力探索知识的内在联系，编织知识网络，挖掘知识交汇点。通过开放性、应用性问题的研究，锤炼扎实娴熟的基本功，培养发现意识和探索精神，使之逐步形成以逻辑思维能力为核心的各种能力，提高综合素质。 3．研究课本，剖析典型是高考复习的基本着眼点不少学生在高三复习时基本上把课本扔在一边，很少再去光顾浏览，这是高三数学复习的一个误区。2001年高考数学试卷中，源于课本典型例、习题的试题数量及其分值都有较高的比例，这足以说明高考复习中研究课本，剖析典型例、习题的必要性和重要性。只有平时做好典型问题的收集、分析、归类、研究和小结工作，才能在必要时将它们适当进行改编、引申或重新组合，寻找和挖掘知识的交汇点，才能透过陌生问题的表象，剖析出该问题是由哪些课本知识交汇拟合而成。唯此，才能更好地吸取课本例、习题的营养价值，真正发挥课本例、习题的示范功能。 4．加强数学思想方法的挖掘与调用，是提高数学复习质量的保证面对21世纪伟大的变革和激烈的竞争，我们必须使自己成为立于不败之地的优秀人才。而新世纪优秀人才的标志之一，是能够数学地提出问题、分析问题和评价问题，这就要求我们具有扎实的数学基础知识、敏捷的思维以及开拓创新的能力。而数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，因此，在高考数学复习中，我们应当有意识地挖掘数学问题本身所蕴含的数学思想和方法，并能恰当地调用它们解决问题。若能如此，我们的思维将会得到进一步的发展，潜能将会得到有效的开发，数学素质将会得到极大的提高，创新意识、创新精神和创新能力将会得到很好的培养。 2001年高考已经结束了，然而由高考试题所引发的思考和启示都远远没有结束。认真做好2001年高考试题的分析研究，并关注新一轮高考的相关信息，必将有力地提高我们新一轮高考复习的针对性和实效性。