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执教：白雪峰

点评：丁益祥

[课题]棱台、圆台体积的探究

[教学目标]

1.使学生理解并掌握台体体积公式的推导过程，能运用公式求解简单的台体体积问题；

2.通过教学使学生初步体会到类比﹑转化与整合在认识事物过程中的重要作用，养学生的空间想象能力以及提出问题﹑分析问题和解决问题的能力，特别是几何图形的分解与组合能力；

3.通过教学激发学生学习数学的兴趣，并逐步提高数学审美能力。

点评：数学课堂教学通常有三个目标：⑴双基内容的落实；⑵数学能力和素质的培养；⑶高尚的思想品质的形成和发展．本节课在落实双基的教学过程中，注重数学品质的培养和训练，把培养优秀素质的人这一目标放在突出的位置，是教师对数学教育功能有着深刻认识的体现。

[教学重点]台体体积公式的探求

[教学难点]几何图形之间各种联系的发掘和应用

[教学方式]启发式、探究式

[教学过程]

一、课题引入：

师：前面我们已经学习了柱体和锥体的体积，今天我们来学习棱台和圆台的体积。

（板书课题）

点评：引入新课的方式是多种多样的，这里采用的是“开门见山，一矢中的”的形式．

二、新课学习

师：棱台、圆台是如何获得的？

生：棱台、圆台分别是由棱锥、圆锥通过用平行于它们底面的平面截去一个锥体而得到的．教师演示电脑动画，使进一步学生体会台体、锥体的联系。

点评：这里，复习不只是单纯地对旧知识的回顾，而是通过对知识产生过程的反思，既起到了承上启下的作用，又为台体体积探求思路的形成奠定了基础．

师：台体的形成过程对我们推导台体的体积有什么启发？

生：我们可以将台体补成锥体，这样台体的体积就可以转化为两个锥体体积的差了。

师：下面我们一起推导台体的体积公式。（根据学生情况也可以由学生独立完成，并请一名学生板演推导过程）

设任意台体（棱台或圆台）的上、下底面面积分别为，高是，截得台体时去掉的锥体的高是，则：

　．

因为台体上、下底面相似，所以，化简得，

解得．代入上式得　，

进一步化简得到台体积公式为：　．

点评：让学生沿着自己的思维轨迹，“补台成锥、以锥求台”，探索、推算台体的体积，而教师只起点拨的作用，这是课堂教学中“双主”作用的具体体现．这里实际上是用台体上、下底面积及高来表示台体的体积。由于是用两锥体体积之差来刻画的，因此引进小锥体的高是必要的，在求的过程中，需要用到平面几何中两图形相似的性质，此刻教师的点拨是适时的．

师：对于圆台，如果圆台上、下底面半径分别为，高为，公式会是什么形式？

生：

点评：圆台体积公式是一般台体体积公式的特例，教师从一般台体体积公式出发让学生探索圆台体积公式的又一种表示形式，是完善学生认知结构,发展学生思维的必然过程．这里教师将这种由一般到特殊的演绎过程让学生自行完成，价值更大．

师生共同分析公式的特征，结合柱体、锥体的体积公式，分析三者之间的内在联系，并请学生与侧面积公式（P.71、P.82）进行比较，进一步提高学生从事物之间联系和变化中来认识事物的能力（过程略）。

点评：柱体、锥体和台体虽然是三种不同的几何体，但它们却有着密切的联系，这里教师通过引导学生与柱体、锥体和台体侧面积之间的区别与联系作类比，一举获得了台体与柱体、锥体体积之间的区别与联系，进一步帮助学生树立了运动变化的观点和辩证的思想，很好地把握了数学教学中德育功能的适时性和实效性．同时，通过公式的赏析，充分展示了数学的和谐美．

师：为进一步熟悉公式，请大家完成下面的练习：

题目：圆台的高为3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底所成的角为，则它的体积为_________。（由学生完成，答案）

点评：选择恰当的题目适时进行练习，是落实基础、训练技能的有效途径．题目不在于多少，只要能起到巩固知识的作用，就具有了一定的价值．

师：台体体积公式是立体几何中的重要公式，我们刚才是利用 “补台成锥”的方法进行推导的．现在我请大家回忆锥体体积的推导过程，当时我们是如何操作的？

生：当时我们是根据祖暅原理把一般锥体体积的推导转化为推导三棱锥的体积，然后将三棱锥补成三棱柱，再分割成三个体积相等的三棱锥。

师：那么棱台体积的探求是否也可以采取这种策略呢？

生：可以。（有一部分学生犹豫）

师：那下面我们就先来推导三棱台的体积。

已知棱台中，设，，高为，请推导三棱台的体积。

师：请同学们再次仔细观察上述台体的体积公式，看看它是由哪几部分构成的？这对你推导三棱台的体积有什么启发？

学生似乎一时没有想法，再启发如下：

师：我们知道棱柱和棱锥都可以看成是棱台的特例，大家回忆一下棱锥

体积的推导过程，对你有什么启示（“割”和“补”是一对矛盾，能否“割台成锥”导出台体体积公式呢？）？

给学生时间思考，探讨如何添加辅助线，然后请学生来讲解。

生：连结，如图：（教师进行动态演示）

则

师生共同完成三棱锥的体积推导（这部分内容主要由教师启发学生共同完成）。

由于，同理 ,

将以上两式相乘即得：

又故，所以 ,

点评：割补法是常用的数学方法之一．“补台成锥、求差得台”与“割台成锥，求和得台”是求台体体积的两种典型方法．教师在课本所给方法的基础上，适时提出了“割台成锥，求和得台”的探求方法，谱写了“补台成锥，求差得台”的姊妹篇，使“割”与“补”这一对矛盾在棱台体积的探求中得到了完美的统一．同时教师通过动画演示，形象地展示了棱台分解与组合的过程，帮助学生直观地建立了空间观念，加快了学生空间想象的进程．

师：上面我们又利用“割台成锥”的办法得到了这一公式，下面再请你换一个角度，思考还有没有其他分割的办法？

学生思维开始活跃，很多学生有了不同的分割办法．这时教师告诉学生，虽然分割办法很多，但要考虑分割后的几何体的体积能否求得。

这时学生们再次陷入沉思中。给学生一段时间后，请学生来回答。

生：如图：作，分别交于，连结，并请学生板演分割的办法，而后教师进行动态演示。