中学数学教学是对学生进行素质教育的主渠道，也是学生获取知识的主要途径，是培养学生能力的主阵地，因此，教师要充分利用课堂教学培养学生的能力，特别是数学的解题能力．

   数学的解题能力是学生数学综合能力的具体体现．而培养学生的较强的解题能力，实际上就是要培养学生的具有较强的“化归”能力．所谓“化归”原则，是指数学家们把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决的或者比较容易解决的问题中去，最终求得原问题之解答的一种手段和方法．也是数学家解决数学问题的思维方法，使要求解的问题通过转化化繁为简、以简驭繁，把未知的问题化为已知的问题，以已知的知识为基础，探索解决未知的领域．要使学生学会化归的方法，教师的课堂教学是关键．

课堂教学的特点是各个环节非常紧凑，对所教的内容层次要求较强，教学的目的性很强．因此，教师要根据课堂教学的特点，精心设计好课堂教学的每一个环节，注重培养学生的化归能力．

一：课堂提问为化归铺平道路．

   每节课的课堂复习引入是唤起学生对旧知识的回忆，引发新的问题，为本节课研究的问题提共素材．课堂的复习、提问本身就具有很好的化归意识．所谓的“旧知识”就是即为“化归原则”中的“已经解决的或较易解决的问题”．引发出的新问题即为“待解决或要解决的问题”．二者的巧妙衔接，自然的转化过程，一切尽在课堂提问中．所以，一堂好课从课堂提问开始．

   例如：在讲求 的极值时，课堂提问应从复习 的极值开始．此复习的本身就预示着要把求 的极值问题转化到求 的极值上去．

  复习提问的不少知识点往往是新问题的化归方向．教师应精心设计复习提问使学生通过提问，既复习了旧知识，又能使学生在引出新问题时很自然地想到化归到相应的旧知识上去，起到为化归铺平道路的作用．

二：概念、定理的教学是“化归”思想的渗透．

数学中许多概念是通过化归而完美解决的．因此，教师在概念的教学中应抓住机遇，潜移默化地影响学生，使学生有意识地领悟化归的思想．

例如：（1）异面直线所成角的概念，是通过转化——过空间一点作已知的两条异面直线的平行线，转化成相交直线所成的角来定义的．

     （2）斜线与平面所成的角的概念，是通过转化——作射影，即用斜线与其在平面内的射影所成的角来定义的．

     （3）二面角的概念，是通过转化——过棱上一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，用这两射线的夹角来定义的．

     （4）任意角三角函数值的求法，是通过诱导公式转化为 间的角来求值的．

凡此种种无不利用化归的思想．教师在这些概念的教学中，不应只向学生讲清概念本身的意义，更应不失时机地向学生渗透化归意识，逐渐地培养学生化归的能力．

课堂上除了通过数学概念的教学渗透化归意识以外，对定理教学中的化归思想也要给予足够的重视．

例如：（1）线面平行的判定可转化为线线平行来判定．

     （2）线面垂直的判定可转化为线线垂直来判定．

     （3）面面平行的判定可转化为线面平行来判定．

     （4）面面垂直的判定可转化为线面垂直来判定．

如果学生有意识地运用了化归的思想，也就找到了解题的钥匙．因此，教师要在课堂教学中把每一个定理的证明思路暴露给学生，讲清定理证明的思维过程，讲清定理的化归思想，每一个定理的证明，就是一道非常好的化归例题．所以，教师在定理的教学中不应只注重定理的应用，更应重视定理的证明．在教学中，如果有意识地加强对化归能力的训练，可有效地促进学生思维的发展，帮助学生克服思维障碍，使知识产生正迁移，从而提高学生的解题能力．

三：精选的例题是化归的典范．

例题是概念、定理的应用，它对学生解题的思路、思维的方式起着引导作用，教师在选择例题时要精挑细选，突出所教内容的目的性，应把重点放在解题思路的分析上，即化归的方向上．好的例题、好的分析过程可使学生产生“顿悟”，可使绝大部分学生基本掌握化归的方法，它对提高学生的解题能力起着至关重要的作用．诚然，要做到精选例题，这无疑对教师提出了更高的要求．教师化归意识的强弱，直接影响着例题的选择．现介绍课堂教学中常用的化归方法．

（一）      题目向定义的化归．

在概念课的教学中，首选例题应是概念的直接应用，即题目直接向概念的化归．这样的结果，可使得到巩固．

例如：在讲解椭圆定义时，可选择如下的例题．

中，已知 且 成等差数列，求顶点 的轨迹方程．

略解：

     由椭圆定义知： 点轨迹是以 为两焦点的椭圆．

故：

        =12

       椭圆方程为

       从而，顶点 的轨迹方程为

向定义的直接化归，是化归问题中比较简单的一种，它是定义的直接应用，也是化归方法的基础．

（二）      空间向平面的化归．

解决空间问题的一个有效途径就是空间问题向平面化归．在立体几何教学中，把空间问题向平面转化，以解决平面问题而达到解决空间问题的目的，此种化归的思路，几乎贯穿于立体几何教学始终．

例如：在母线长为 ，上、下底面半径分别为 ， 的圆台中，从母线 的中点 拉一根绳子，围绕圆台侧面转到 点，（1）求绳子的最短长度．（2）求长度为最短时的绳子和圆台上底圆周间的最短距离．

此题在空间中研究难度较大（图（1）），学生感到无从下手，若利用空间向平面转化的方法，把圆台的侧面展开在平面上( 图（2）)，把空间求绳长的问题化归到平面上求线段 的长度问题，则问题就较容易解决．

如图，（1）我们不妨把圆台补成圆锥，然后展开，所以，易求得

，扇形圆心角 ，

绳子的最短距离为：

（2）作 于 ，作 交AA^‘于E则 =24（ ） （ ）

所以，所求的绳子和上底圆周的最短距离为4（ ）．

（三）      复杂图形问题向“基本图形”化归．

在平常的教学中，注意积累一些有特征的“基本图形”，把较复杂的问题分解成若干个“基本图形”中的问题来解决，也是化归的好方法．

例如，任何一个正棱锥，过顶点向底面作垂线，过垂足分别向边作垂线，则此棱锥可以分割成几个有一条棱垂直于底面的“基本三棱锥”，原三棱锥的问题可以化归到“基本三棱锥”中解决．同样，任何正三棱台也可以分割出几个“基本三棱锥”．

 C

例：已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是 ，那么这个正三棱台的体积是                 ．

这里，要求三棱台的体积，关键是要知道三棱台的高，而求

高的问题就可以转化到在“基本三棱锥” 中求解．

所以，

注重“基本图形”在几何解题中的特殊作用，可使得化归的方向明确，有助于解题．

（四）      数形之间的互相化归．

数形之间的互相化，也是化归的典型代表．

例：已知 ， ，且 ，

求证：

此题从证明不等式的常规方法思考，难度较大，化归的方向不明确．但从条件 ， 且 ， 受到启发，在单位正方形 中， ， ， 不是中点，设 ， ，则 满足已知条件，则 ， ，连 ， ， ， ， ．

则在 和 中， ， ，

又  ， ，

， ， ， ．

此时

成立．类似这种问题在数学教学中比比皆是，关键是要利用好数形之间的转化，通过“数”向“形”的化归，使问题由“难”变“易”．此例很好地说明了数形化归的优越性．

（五）      类比化归

类比是合情推理的一种，类比化归是对学生进行合情推理能力培养的好方法．开普勒说：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中，它应是最不容忽视的．”类比是联想的一种特殊形式和常用的推理方法．在立体几何的教学中，运用类比的方法是把空间问题化归为平面之间的相应问题的很好途径．

例如，求证：正四面体内任意一点到各个面的距离之和一定是一个定值．

此题的难点在于正四面体内任意一点的不定性，另外，本身“点到面的距离”就是教学中的难点，学生只习惯于过定点向平面作垂线进而找到该点到平面的距离，但对于不定的点到各面的距离，学生理解起来有困难．因此，引导学生类比初中平面几何中的例子，“正三角形内任意一点到各条边的距离之和是一个定值”．此命题学生很容易证明之．

如图，连 ， ， ，过 作各边的垂线，分别交各边于 ， ， ，

则

=

=

所以， 为定值．

类比上题，可对该题作出如下解答：

=

为正四面体，设个各面面积为

=

因此， 为定值．

化归的方法、化归的思路还有许多，总之，教师在精选例题时，要把训练学生的思维放在首位．使学生掌握化归的基本思路，掌握化归的方法．

四．少而精的课堂练习是化归能力的检验

课堂练习是课堂教学效果的重要途径，它的目的在于让学生亲身体验化归的乐趣．所以，课堂练习的选择是具有与课堂例题相匹配的一类化归题目．它不止让学生模仿例题，更重要的是让学生进行化归的实践，运用化归的思想解决问题，并通过学生的反馈检验教学效果．数学教材中，针对每一部分的 知识内容，配备了适当的课堂练习，具有良好的针对性，但是，还远远的不够．在实际的教学中，应适当再选配一些课堂练习，以便巩固化归的成果．课堂练习的选配，必须目的性明确，化归方向较明显与本节课的教学内容紧密相连，而且要有一定的梯度，既有让学生可直接模仿的地方，也要有例题引申化归的地方．题目不宜过大，难度不宜过高，让学生思考的时间不宜过长．

五．课堂小结是化归的升华．

每节课都有其相应的教学目的，课堂小结不只是对本节课知识的复述，更重要的是对本节课所运用的数学思想方法的归纳．通过课堂小结应使学生对化归的类别、化归的思路、化归的方法有更深的认识，使学生对化归有较深的感受．课堂小结应是教师总结出的学生的感受．

例如，在研究完直线与平面垂直的判定后，应使学生体会出要证线面垂直，需化归到证线线垂直上去．而此种感受，是学生自己的体会，只不过是通过教师的课堂小结归纳整理出了解决此类问题的方法及思路．课堂小结的作用是“画龙点精”．总而言之，数学的课堂教学，是培养学生“化归”的主渠道，学生较好地掌握了化归的思想方法，就学会了象数学家那样思维，那么，学生解题能力的必然会得到较大提高．

著名的数学家、教育学家G·波利亚曾在《怎样解题》中的“解题表”中提出了解题的四步．

即：

第一，你必须弄清问题．

第二，找出已知数与未知数的联系．如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题．你应该最终得出一个求解的计划．

第三，实行你的计划．

第四，验算所得的结果．

由此看出，波利亚在解题表中谈到的核心就是“化归原则”．因此，课堂教学中注意向学生传授化归的思想，应是教师教学方法的根本．从方法论的角度来看，化归表现出一种运用方法的指向性，其实施过程包含化归的对象（条件，结论），化归的方向（熟知的形式，简单的形式），化归的途径————实施手段．其中，发现、构想实施手段是用化归思想研究解决数学问题的难点与关键．教师应在自己的教学过程中逐步增强化归的意识，确实是学生抓住解题的灵魂————化归原则．